Справочные данные по математике
Семёнов Ю.А. (ГНЦ ИТЭФ), book.itep.ru
Приводимые в данном разделе определения вляются "шпаргалкой" на случай, когда вы знаете предмет, но что-то забыли. Для первичного изучения математических основ рекомендую обратиться к серьезным монографиям и учебникам.
Условная вероятность.
В теории вероятностей характеристикой связи событий А и B служит условная вероятность P(А|B) события А при условии B, определяемая как P(А|B) =
где N(B) - число всех элементарных исходов w, возможных при условии наступления события B, а N(АB) - число тех из них, которые приводят к осуществлению события А.
Если событие B ведет к обязательному осуществлению А: b, то P(A|B)=1, если же наступление B исключает возможность события А: A*B=0, то P(A|B)=0. Если событие А представляет собой объединение непересекающихся событий A1, A2,…: A = 
Если имеется полная система несовместимых событий B =B1, B2,… т.е. такая система непересекающихся событий, одно из которых обязательно осуществляется, то вероятность события A (P(A)) выражается через условные вероятности P(A|B) следующим образом:
(формула полной вероятности).
Множества.
Множество - это совокупность некоторых элементов. Если элемент х входит в множество А, это записывается как x О A. Соотношения A1 Н A2 или A2 К A1 означает, что A1 содержится во множестве A2 (каждый элемент х множества A1 входит в множество A2; A1 является подмножеством A2).
Суммой или объединением множеств А1 и А2 называется множество, обозначаемое A1 И A2, которое состоит из всех точек х, входящих хотя бы в одно из множеств A1 или A2.
Пересечением или произведением множеств А1 и А2 называется множество, обозначаемое A1З A2, A1*A2 или A1A2, которое состоит из всех точек х, одновременно входящих и в A1 и в A2; пересечение
Пустые множества обозначаются 0.
Множества, дополнительные к открытым множествам топологического пространства Х, называются замкнутыми.
Нормированное пространство Х называется гильбертовым, если определена числовая функция двух переменных х1 и х2, обозначаемая (x1,x2) и называемая скалярным произведением, обладающим следующими свойствами:
(x,x)і 0;
(x,x)=0 тогда и только тогда, когда х=0;
(l 1x1+l2 x2, x) = l 1(x1,x) + l 2(x2,x);
(x, l 1x1+l2 x2) = l1(x,x1) + l 2(x,x2)
при любых l1, l2 и x1, x2ОX. Норма x элемента гильбертова пространства Х определяется как x=
Счетно-гильбертово пространство Х называется ядерным, если для любого р найдется такое q и такой ядерный оператор А в гильбертовом пространстве Х со скалярным произведением (х1,x2)=(х1,х2)q, что (х1,x2)p=(Ax1,x2)q.
Действительное число M является верхней границей или нижней границей множества Sy действительных чисел y, если для всех y О Sy соответственно y Ј M или yі M. Множество действительных или комплексных чисел ограничено (имеет абсолютную границу), если верхнюю границу имеет множество абсолютных величин этих чисел; в противном случае множество не ограничено. Каждое непустое множество Sy действительных чисел y, имеющее верхнюю границу, имеет точную верхнюю границу (наименьшую верхнюю границу) sup y, а каждое непустое множество действительных чисел y, имеющее нижнюю границу, имеет точную нижнюю границу (наибольшую нижнюю границу) inf y. Если множество Sy конечно, то его точная верхняя граница sup y необходимо равна наибольшему значению (максимуму) max y, фактически принимаемому числом y в Sy, а точная нижняя граница inf y равна минимуму min y.
Множество называется открытым, если оно состоит только из внутренних точек. Точка P множества называется внутренней для множества S, если P имеет окрестность, целиком содержащуюся в S.
Компакт. Система множеств G называется центрированной, если пересечение конечного числа любых множеств из G не пусто. Замкнутое множество A Н X называется компактом, если всякая центрированная система G его замкнутых подмножеств F имеет непустое пересечение:
Гауссовы случайные процессы.
Действительная случайная величина x называется гауссовой, если ее характеристическая функция j =j (u) имеет вид
фигурирующие здесь параметры a и s2 имеют простой вероятностный смысл: a=Mx (среднее значение), s2 = Dx (средне-квадратичное отклонение). Соответствующее распределение вероятностей также называется гауссовым, его плотность имеет вид
Марковские случайные процессы.
Случайный процесс x =x(t) на множестве T действительной прямой в фазовом пространстве (E,B) называется марковским, если условные вероятности P(A|U(-Ґ,s) событий AО U(t,Ґ ) относительно s-алгебры U(-Ґ,s) таковы, что при s Јt с вероятностью 1
здесь U(u,v) означает s-алгебру порождаемую всевозможными событиями вида { x(t) О B}, t О[u,v]З T, BО B. Если параметр t интерпретировать как время, то описанное марковское свойство случайного процесса x =x (t) состоит в том, что поведение процесса после момента t при фиксированном состоянии x=x (t) не зависит от поведения процесса до момента t. Для любых событий А ОU (-Ґ,t1) и A2О U(t1, Ґ) и при любом t О T t1 ЈtЈ t2 с вероятностью 1
P(A1A2|x (t)) = P(A1|x (t)) P(A2|x(t)).
Цепи Маркова.
Пусть x (t) - состояние системы в момент времени t, и пусть соблюдается следующая закономерность: если в данный момент времени s система находится в фазовом состоянии i, то в последующий момент времени t система будет находиться в состоянии j с некоторой вероятностью pij(s,t) независимо от поведения системы до указанного момента s. Описывающий поведение системы процесс x (t) называется цепью Маркова. Вероятности pij(s,t) = p{x (t)=j|x (s)=i} (i,j = 1, 2, …) называются переходными вероятностями марковской цепи x (t).
Марковская цепь x (t) называется однородной, если переходные вероятности pij(s,t) зависят лишь от разности t-s: pij(s,t) = pij(s-t) (i,j=1,2,…)
Финальные вероятности. Пусть состояния однородной марковской цепи x (t) образует один замкнутый положительный непериодический класс. Тогда для любого состояния j существует предел
Предельные значения P1, P2,… представляют собой распределение вероятностей: pj есть финальная вероятность находиться в состоянии j; при этом
Pj=
где Qj - среднее время возвращения в состояние j в дискретные моменты t = 0, 1, 2, … .
Коэффициент эргодичности.
Пусть x =x (t) - случайный марковский процесс в фазовом пространстве (E,B) с переходной функцией P(s,x,t,B). С вероятностью 1 имеет место равенство
b (s,t) =
Величина k(s,t) = 1 -
называется коэффициентом эргодичности марковского процесса x =x (t).
Переходная функция.
Функция P(s,x,t,B) переменных s, tО T, s Ј t и xО E, bО b называется переходной функцией марковского случайного процесса x =x (t) на множестве T в фазовом пространстве (E,B), если эта функция при фиксированных s, tО T и xО E представляет собой распределение вероятностей на s -алгебре b и при фиксированных s, tО T и BО b является измеримой функцией от x О E.
Стационарные случайные процессы.
Стационарный действительный или комплексный случайный процесс x =x (t), рассматриваемый как функция параметра t со значениями в гильбертовом пространстве L2(W) всех действительных или комплексных случайных величин h =h (w), M|h |2<Ґ (со скалярным произведением
(h 1, h2)= M h1 h2),
может быть представлен в виде
Белый шум. Простейшим по структуре стационарным процессом с дискретным временем является процесс z =z (t) с некоррелированными значениями:
Mz(t)=0, M|z(t)|2=1,
Mz(t1)
В случае непрерывного времени t аналогом такого процесса является так называемый "белый шум" - обобщенный стационарный процесс z = б u, z с вида
(параметр u=u(t) есть бесконечно дифференцируемая функция), где стохастическая мера z = z (d ) такова, что
Mz (D )=0, M|z (D )|2 =t-s при D =(s,t), Mz (D1) z (D2)=0 для любых непересекающихся D1 и D2.
Стационарный процесс x= x(t), Mx(t)=0, называется линейно-регулярным, если
где H(s,t) - замкнутая линейная оболочка в пространстве L2(W) значений x(u), s Ј u Ј t. Стационарный процесс x =x(t) со спектральной мерой F является линейно-регулярным тогда и только тогда, когда F=F( D) абсолютно непрерывна:
F(D) =
а спектральная плотность f=f(l) удовлетворяет условию
(для дискретного t)
(для непрерывного t)
Стационарный процесс x =x(t) линейно-регулярен тогда и только тогда, когда он получается некоторым физически осуществимым линейным преобразованием из процесса z = z(t) с некоррелированными значениями - в случае дискретного t:
x(t) =
и из процесса z =б u, z с "белого шума" - в случае непрерывного t:
x(t) =
Регулярность. Реальные стационарные процессы часто возникают в результате некоторого случайного стационарного возмущения Z = z (t) типа "белого шума". Процесс z = z(t) подвергается некоторому линейному преобразованию и превращается в стационарный процесс x =x(t). Спектральная плотность f= f(l) такого процесса в диапазоне -p Ј l Ј p для целочисленного времени и -Ґ <l <Ґ для непрерывного времени t не может обращаться тождественно в нуль ни на каком интервале: в противном случае стационарный процесс x (t) будет сингулярным, что означает возможность его восстановления лишь на полуоси -Ґ ,t0. Процессы, спектр которых практически сосредоточен в полосе частот -W< l <W, не обладают свойствами сингулярных процессов. С энергетической точки зрения эти процессы имеют ограниченный спектр. Составляющие их гармонические колебания вида Ф(dl )eilt с частотами вне интервала (-W,W) имеют весьма малые энергии, но они существенно влияют на линейный прогноз значений x (t+t) на основе x (s) на временной полуоси sЈt.
Линейные устройства, используемые при решении конкретных задач, должны иметь вполне определенную постоянную времени T (определяет длительность переходных процессов). Это означает, что весовая функция h=h(t) рассматриваемого линейного устройства, связанная с соответствующей передаточной функцией Y =Y(p) равенством
должна удовлетворять требованию h(t)=0 при t>T.
Рассмотрим задачу линейной фильтрации при наличии на входе процесса x =x(t). Тогда x (t)= z (t) +h(t), где h =h(t) - полезный сигнал, а z(t) - независимый от него стационарный случайный процесс (шум).
Линейное устройство должно быть выбрано так, чтобы процесс на входе
был по возможности близок к входному полезному сигналу h = h(t), так что в стационарном режиме работы
Линейное устройство, отвечающее поставленным требованиям, должно иметь такую передаточную функцию Y=Y(p), чтобы соответствующая спектральная характеристика
являлась решением интегрального уравнения
Где
- спектральная плотность входного процесса x (t), а Bh h(t) - корреляционная функция полезного сигнала h (t).
Закон больших чисел.
Пусть x1,…, xn - независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей, в частности одни и те же математические ожидания a = M xk и дисперсии
s2=Dxk, k=1,…,n. Каковы бы ни были e >0 и d >0, при достаточно большом n арифметическое среднее
с вероятностью, не меньшей 1-d, будет отличаться от математического ожидания a лишь не более чем на
Распределение Эрланга
Рассмотрим систему, которая способна обслуживать m запросов одновременно. Предположим, что имеется m линий и очередной запрос поступает на одну из них, если хотя бы одна из них свободна. В противном случае поступивший запрос будет отвергнут. Поток запросов считается пуассоновским с параметром l0, а время обслуживания запроса (в каждом из каналов) распределено по показательному закону с параметром l, причем запросы обслуживаются независимо друг от друга. Рассмотрим состояния E0, E1,…,Em, где Ek означает, что занято k линий. В частности E0 означает, что система свободна, а Em - система полностью занята. Переход из одного состояния в другое представляет собой марковский процесс, для которого плотности перехода можно описать как:
При t ® Ґ переходные вероятности pij(t) экспоненциально стремятся к своим окончательным значениям Pj, j=0,…,m. Окончательные вероятности Pj могут быть найдены из системы:
-l0P0+lP1=0
l0Pk-1 - (l0+kl)Pk + (k+1)lPk+1 =0 (1Ј k<m)
l0pm-1+ml Pm=0
решение которой имеет вид:
Эти выражения для вероятностей называются формулами (распределением) Эрланга.
